jueves, 29 de junio de 2017

Determina si existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene una infinidad de soluciones en los enteros positivos $a$, $b$, $c$.

viernes, 23 de junio de 2017

Difícil y aburrido

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con ángulo recto en $C$ y $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto sobre el segmento $CD$. Sean $K$ y $L$ puntos en los segmentos $AX$ y $BX$ respectivamente tales que $BK = BC$ y $AL = AC$. El circuncírculo de $DKL$ intersecta al segmento $AB$ por segunda vez en $T$. Muestra que $\angle ACT = \angle BCT$.

Secuencia difícil

Hola, me encontré este problema ayer y se me hizo bastante difícil e interesante así que quiero compartirlo con ustedes.
Sea {a_n}, para $n \ge 1$ una secuencia de enteros positivos que satisface $ 0 < a_{n+1} - a_n < 2017$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra qué hay infinitas parejas $(p,q)$ tales que $a_p$ divide a $a_q$.

martes, 20 de junio de 2017

Martes de Combi (¡En martes!)

Hola Chicos

Hoy no les quedo mal.

Sean $a,b$ dos números naturales distintos. El conjunto $\{ x, y, z \}$, con x < y < z se dice $(a,b)$-adaptado si $\{z-y, y-x\} = \{ a, b \}$. Prueba que el conjunto de números naturales puede escribirse como unión de conjuntos $(a,b)$-adaptados disjuntos.

lunes, 19 de junio de 2017

Problema del sabado 17 de junio

Muestra que un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos tales que, cada uno de los primeros 7 equipos han ganado el juego en contra de cada uno de los últimos 7 equipos.

domingo, 18 de junio de 2017

Jueves de Geometría en Viernes (mas compensación)

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Las rectas $BH$ y $CH$ cortan a $AC$ y $AB$ en
$D$ y $E$, respectivamente. El circuncírculo de $\triangle ADE$ corta el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $F \neq A$. Demuestra que las bisectrices internas de $\angle BFC$ y $\angle BHC$ se cortan en un punto sobre el segmento $BC$.

2. Dos circunferencias $C_1$ y $C_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Sean $X$ e $Y$ puntos sobre $C_1$ distintos de $A$ y $B$. Las rectas $XA$ y $YA$ cortan a $C_2$ nuevamente en $Z$ y $W$ respectivamente. Sean $M$ el punto medio de $O_1 O_2$, $S$ el punto medio de $XA$ y $T$ el punto medio de $WA$. Demostrar que $MS = MT$ si y sólo si $XYZW$ es cíclico.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que se han trazado las alturas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$. Sea $A_2$ un punto del segmento $AA_1$ tal que $\angle BA_2C=90^\circ$, se definen análogamente los puntos $B_2$ y $C_2$. Sea $A_3$ el punto de intersección de los segmentos $B_2C$ y $BC_2$, se definen análogamente los puntos $B_3$ y $C_3$. Pruebe que los segmentos $A_2 A_3$, $B_2B_3$ y $C_2 C_3$ son concurrentes.

miércoles, 14 de junio de 2017

Martes de combi (en miércoles otra vez)

Hola chicos.

Una disculpa nuevamente por el desfase en la publicación.

Determina el mínimo y máximo número de triángulos orientados (triángulos en los que las aristas forman un ciclo siguiendo el orden de las flechas) que pueden encontrarse en una gráfica completa dirigida con n vértices.

álgebra en miércoles

Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que para todos los reales $x$, $y$, $z$, $t$ se tiene que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \]

lunes, 12 de junio de 2017

Problema del sábado 10 de junio.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen que para todos
$x$ y $y$ numeros reales
$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x).$$

viernes, 9 de junio de 2017

Problema Teoría de Número Viernes 9 de junio


Sean $f,g : \mathbb{Z} ^{+} \rightarrow  \mathbb{Z} ^{+} $ 
transformaciones con las siguientes propiedades:\\
a) $g$ es suprayectiva.\\
b) $ 2 f(n)^{2} = n^{2} + g(n)^{2} $ para todos 
los enteros positivos $n$.\\
c) $ \mid f(n) - n \mid \leq 2004 \sqrt{n} $, para toda $n$

Demuestra que $f$ tiene una cantidad infinita de puntos fijos.

Problema Teoría de Números del Viernes 2 de junio


 Si $n > 0$ es un entero tal que $s(n) =2$, 
¿Cúal es el mayor valor de $s(n^{10} )$? 
Recuerda que $s(n)$ denota a la suma de los dígitos de $n$.

jueves, 8 de junio de 2017

Jueves de Geometría 2.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $X_A$ está sobre la tangente por $H$ al circuncírculo del triángulo $BHC$ de forma que $AH=AX_A$. De manera análoga se definen $X_B$ y $X_C$. Muestra que el triángulo $X_AX_BX_C$ es semejante al triángulo ortico del $ABC$. 

miércoles, 7 de junio de 2017

Martes de combi (en miércoles)

Hola chicos

Una disculpa por no subir problema ayer. Va el problema de combi de la semana:

Sea $n\geq 2$, tal que existen números naturales distintos $a_1,a_2, ... a_n, b_1, b_2, ...b_n$ con la propiedad que las $C^{n}_{2}$ (n en dos)  sumas $a_i+a_j$ son iguales a las $C^{n}_{2}$ sumas $b_i+b_j$ (en algún orden). Prueba que $n$ es una potencia de 2.

Sugerencia: sea $f(x) = \sum x^a_i$, $g(x) = \sum x^b_i$. Encuentra una ecuación algebraica que relacione f y g. Si n no es potencia de 2, esta ecuación algebraica no tiene solución. Usa inducción y derivadas para demostrarlo.

Problema del sabado 3 de junio

Dado un numero natural $k$, encuentra todas las funciones
f : \mathbb{N} \to  \mathbb{N}$
tales que para cada $m$, $n$ enteros positivos, se tiene que
f(m)+f(n) divide  a (m+n)^k.

Problema del miércoles

Los números reales $p$, $q$, $r$ y $s$ cumplen que $p+q+r+s=9$ y $p^2+q^2+r^2+s^2=21$. Demuestra que existe una permutación $(a,b,c,d)$ de $(p,q,r,s)$ tal que $ab-cd\geq 2$.

jueves, 1 de junio de 2017

Jueves de Geometría

Les dejo este problema que me gusta mucho.

(APMO 2006 P4.) Sea $\Omega$ una circunferencia con cuerda $AB$. La circunfenrencia $\omega$ es tangente a la cuerda $AB$ en su punto medio y a $\Omega$. Supongamos que la tangente desde $B$ a $\omega$ corta a $\Omega$ en $C$. Muestra que la circunferencia que es tangente a $AC$ en su punto medio y que también es tangente a $BC$ es una circunferencia tangente a $\Omega$.

miércoles, 31 de mayo de 2017

Problema del miércoles

Demuestra que el conjunto de enteros positivos que no se pueden representar como la suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

martes, 30 de mayo de 2017

Martes de Combi - Matrices

Todas las entradas de una matriz de $n \times n$ son todas números enteros positivos. Se permite realizar las siguientes operaciones: multiplicar por 2 todos los números de una fila, o bien, restarle 1 a todos los números de una columna. Prueba que mediante estas operaciones podemos llegar a que todas las entradas de la matriz sean 0.

miércoles, 29 de junio de 2016

Problemiércoles 29

Prueba que entre cualesquiera $2n+1$ números irracionales hay $n+1$ números tales que la suma de cualesquiera $k$ de ellos es irracional, para todo $k \in \{1,2,3,\ldots, n+1 \}$.

Problema martes

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca a $\angle ABC$ ni a $\angle CDA$. El punto $P$ está adentro del cuadrilátero y cumple que $\angle PBC =\angle DBA$ y $\angle PDC =\angle BDA$. Prueba que $ABCD$ es cíclico si y sólo si $AP=CP$.

lunes, 27 de junio de 2016

Problema del día

Sea $n \ge 3$ un entero positivo, y $t_1, t_2, ..., t_n$ números reales positivos tales que: 
\[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\]
Pruebe que $t_i, t_j, t_k$ son longitudes de un tríangulo para todo $i,j,k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$

domingo, 26 de junio de 2016

Problemas del Viernes

1. Sea $n$ un entero positivo impar. Determina el menor entero positivo $m$ para el cual existe una gráfica simple (sin lazos, sin aristas múltiples) con $m$ vértices, tal que un vértice tiene grado 1 y los $m - 1$ vértices restantes tienen grado $n$.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $P, Q, R, S$ están en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente de manera que $AB$, $CD$ y $QS$ concurren, y $BC$, $AD$, y $PR$ concurren. Muestra que si dos de las rectas $PQ, RS$ y $AC$ son paralelas, entonces las tres son paralelas entre sí.

3. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polígono convexo de $n$ lados cuyos vértices son todos puntos con coordenadas enteras, y tal que las medidas de sus lados son enteros impares distintos.

sábado, 25 de junio de 2016

Problema 25 de Junio

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB$ distinto de $AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y
$M$ el punto medio de $BC$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ y $E$ un punto en el lado $AC$ tal que  $AE=AD$ y los puntos $D, H, E$ son colineales. Prueba que $HM$ es perpendicular al eje radical de los circulos circunscritos a $ABC$ y $ADE$.

viernes, 24 de junio de 2016

Problemas del 24 de junio

1. Sea $k > 2$ un entero. Ana y Banana juegan un juego. Primero hay un entero $n \geq k$ en un pizarrón. En cada turno, empezando por Ana, borran el numero $m$ en el pizarrón y escribe uno $m'$ tal que $(m,m')=1$ y $k \leq m' < m$. El primer jugador que ya no puede hacer una jugada, pierde. 

Un número $n$ se llama bueno si Banana gana, y malo si no. 

Demuestra que si hay dos enteros $n$ y $n'$ tales que para todo $p$ primo menor o igual a $k$, $p$ divide a $n$ si y solo si $p$ divide a $n'$. Prueba que ambos números son buenos o malos.

2. Determina todas las funciones $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} $ que cumplan

$\[ f \left( \frac{f(x)+a} {b}\right) = f \left( \frac{x+a}{b} \right) \]$

para toda $x \in \mathbb{Q}$, $a \in \mathbb{Z}$ y $b \in \mathbb{Z}_{>0}$.

miércoles, 22 de junio de 2016

Problemiércoles

En un planeta, hay $2^N$ países; $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ de largo y 1 de ancho, es decir, un tablero de $N$ cuadritos con tamaño $1 \times 1,$ cada uno de ellos coloreado rojo o blanco. Se sabe que no hay dos países con la misma bandera. Llamamos a un conjunto de $N$ banderas diverso, si se pueden acomodar las banderas en un tablero de $N \times N$ tal que las $N$ casillas de la diagonal principal (la que empieza en la esquina superior izquierda) tengan el mismo color, ya sea rojo o blanco. Determina el menor entero positivo $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, siempre se van a poder encontrar $N$ banderas que hacen un conjunto diverso.

martes, 21 de junio de 2016

Problemas martes

1. Encuentra tods las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que cumplen que

$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$$
Para todos $x, y$.

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y $\Omega$ su circuncírculo. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B$ y $C$ y que intersecta a $AB$ y $AC$ en $E$ y $D$ respectivamente, sea $O$ el centro de $\omega$. Sea $P$ un punto en el arco mayor $BAC$ de $\Omega$. Prueba que $BD$, $CE$ y $OP$ concurren si y sólo si los triángulos $PBD$ y $PCE$ tienen el mismo incentro.

viernes, 17 de junio de 2016

Problemas Viernes 17

1. Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $7^{7^n} + 1$ es producto de al menos $2n + 3$ primos, no necesariamente distintos.


2. Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y $\ell$ una recta que no pasa por $H$. Sean $D, E, F$ las intersecciones de $\ell$ con $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Sean $\ell_D$, $\ell_E$ y $\ell_F$ las rectas por $D, E$ y $F$ que son perpendiculares a $BC, CA$ y $AB$ por $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las intersecciones de $\ell_E$ con $\ell_F$, $\ell_F$ con $\ell_D$ y $\ell_D$ con $\ell_E$, respectivamente, y sea $H_1$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$
Muestra que $\ell$ pasa por el punto medio de $HH_1$.


3. Las filas y columnas de un tablero de $3n \times 3n$ están numeradas $1, 2, \dots, 3n$. Cada cuadrito $(x, y)$ con $1 \leq x, y \leq 3n$ se colorea amarillo, blanco o celeste de acuerdo a si el residuo modulo $3$ de $x + y$ es $0, 1$ o $2$ respectivamente. Una ficha de color amarillo, blanco o celeste se coloca en cada cuadrito, de modo que haya $3n^2$ dichas de cada color.

Supón que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d$ de su posición original, cada ficha amarilla reemplaza una ficha blanca, cada ficha blanca reemplaza una ficha celeste, y cada ficha celeste reemplaza una ficha amarilla. Muestra que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d + 2$ de su posición original, y cada cuadrito contiene una ficha del mismo color que el cuadrito.

jueves, 16 de junio de 2016

Problemas 16 junio

1. ¿Existirá una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ que cumpla que
para toda pareja de enteros $n \geq m$ $a_1+a_2+...+a_m$ no divida a $a_{m+1}+...+a_n$?

2. Un entero $m$ es una $k-esima$ potencia si existe un entero $x$ tal que $x^k =m$.
Demuestra que para todo entero $n$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos distintos tal que su suma es una $2009-esima$ potencia y su producto una $2010-esima$ potencia.

3. Encuentra todas las funciones inyectivas de reales a reales tales que para todo real $x$ y todo entero $n$:
$ |\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i))| < 2016 $

miércoles, 15 de junio de 2016

Prob J 15

1. Sean $ a $, $ b $, $ c $ números reales positivos. Prueba la siguiente desigualdad:
\[ \frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. \]
2. Sea $n > 1$ un entero. Prueba que hay infinitos términos impares en la secuencia $(a_k )_{k\ge 1}$, definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor\] ($\lfloor x\rfloor$ es el máximo entero menor o igual a $x$.)

martes, 14 de junio de 2016

Problemas martes

1. Considera los polinomios

$$\[f(x) =\sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\quad $$ y

$$\[g(x) =\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k}-1}x^{k},\quad$$

Donde $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ son reales y $n$ entero positivo. Prueba que si $1$ y $2^{n+1}$ son raíces de $g$ entonces $f$ tiene una raíz positiva menor a $2^{n}$.

2. Sea $n$ un entero mayor a $1$. Para un entero positivo $m$ sea $S_{m}=\{ 1,2,\ldots, mn\}$. Supón que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$a)$  Cada elemento de $T$ es un subconjunto de $m$ elementos de $S_{m}$,
$b)$ Cada par de elementos de $T$ tiene a lo más un elemento en común, y
$c)$ Cada elemento se $S_{m}$ está contenido en exactamente dos elementos de $T$.

Determina el mayor valor posible de $m$ en términos de $n$.

3. Una red de comunicaciones formada por algunas terminales se llama 3-conectada si para cualesquiera tres terminales, al menos dos de ellas se pueden comunicar directamente. Una red de comunicaciones contiene un molino con $n$ aspas si existen $n$ pares de terminales $\{x_{1},y_{1}\},\{x_{2},y_{2}\},\ldots,\{x_{n},y_{n}\}$ tal que cada $x_{i}$ puede comunicarse de manera directa con su respectivo $y_{i}$ y hay una terminal central que se comunica directamente con cada una de las $2n$ terminales $x_{1}, y_{1},\ldots,x_{n}, y_{n}$. Determina el menor valor posible $f(n)$ en términos de $n$, tal que una red 3-conectada con $f(n)$ terminales siempre contiene un molino con $n$ aspas.