Solución 28 mayo, Irving

Sea n un entero mayo que 2007. Primero mostramos que podemos encontrar un triángulo de lados b_2009, r_2009 y w_2009. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que b_2009 es el segmento más grande de los 6027 que hay en total. Entonces como b_2009 es un lado de uno de los 2009 triángulos originales tenemos b_2009< r_i+w_r para algunos enteros i,w<=2009. Pero r_i+w_r< r_2009+w_2009, entonces b_2009Voy a probar que podemos tener k=1. Sea n>2007 un entero positivo. Consideremos los siguientes 2009 triángulos: (2n,2n,n-2007) y (2t,t,t+1) con t=n,n-1,n-2,...,n-2007. En los triángulos (2t,t,t+1) pintamos de azul el lado 2t, de rojo el lado t y de blanco el lado t+1. Para el triángulo (2n,2n,n-2007) pintamos de azul un lado 2n, de rojo el otro lado 2n y de blanco el lado n-2007. Entonces para j=1,2,...,2008 se tiene b_j=2t y r_j=w_j=t para algún entero positivo t entre n y n-2007. Entonces no hay triángulo con lados b_j, r_j, w_j, excepto cuando j=2009.