solucion prob. 22 de mayo (flavio)

Tomemos n=2^k
Entonces
2^n-1= 2^2^k - 1 = (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-1))-1)
= ... = (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^2-1)
= (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^1+1)*(2^1-1)
= (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^1+1)*(1)
Ademas, sabemos que si a < b entonces (2^(2^a)+1,2^(2^b)+1)=1, ya que si p|2^(2^a)+1 y p|2^(2^b)+1, entonces
p|(2^(2^a)+1)*(2^(2^a)-1)=2^(2^(a+1))-1
pero como a < b entonces a+1<=b
entonces 2^(a+1) | 2^b
entonces 2^(2^(a+1))-1 | 2^(2^b)-1
entonces p|2^(2^b)-1 pero p|2^(2^b)+1
entonces
p|2^(2^b)+1-(2^(2^b)-1) = 2
pero 2^(2^b)+1 es impar, entonces (p,2)=1
entonces p|1 entonces (2^(2^a)+1,2^(2^b)+1)=1
entonces si s(r)= numero de divisores de r,
entonces
s(2^n-1)=s(2^(2^(k-1))+1) * s(2^(2^(k-2))+1)*...*s(2^2+1)*s(2^1+1)
ya que son primos relativos por parejas dos a dos.
Ahora veamos que s(i)>=2 para toda i>1, ya que 1, i son divisores distintos de i.
y que ademas hay k terminos en la multiplicacion de la derecha
(s(2^(2^0)+1), ..., S(2^(2^(k-1))+1))) y como cada uno es mayor o igual a 2, entonces su multiplicacion
es mayor o igual a 2^k=n, para ver que s(2^n-1)>n, tomemos k>5, ya que sabemo que
s(2^(2^5)+1)>2 ya que no es primo (contraejemplo a que 2^(2^n)+1 es primo siempre).
Entonces si k>5 entonces uno de esos factores sera mayor a 2 estrictamente entonces la multiplicacion
sera mayor estrictamente a 2^k=n entonces todos esos n=2^k cumplen, con k>5.