martes, 31 de mayo de 2011

Problema del día 31 de MAyo (Centros)

En un triángulo $ABC$, el punto medio de $BC$ es $L$. La bisectriz de $\angle CLA$ corta a $AC$ en $M$ y la de $\angle BLA$ corta a $AB$ en $N$. El circuncírculo de $LMN$ corta de nuevo a $AL$ en $X$ y a $BC$ en $Y$. La recta $XY$ corta a las rectas $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que $NP$ y $MQ$ son perpendiculares.

Problema del Miercoles (Diego)

Mañana probablemente estaré ocupado, así que pondré el problema hoy.
Tenemos una maquina que le cambia el cerebro a dos personas. Pero tiene un problema, entre dos cuerpos nada mas puede cambiarles el cerebro una vez.
Un centro de investigación de neurología utiliza $M$ veces la maquina en un grupo de $N$ personas, antes de darse cuenta del problema. Para resolver el problema deciden contratar a $p$ personas para usarlos en el intercambio de cerebro para que todos los cerebros terminen en su cuerpo. Dado que estas personas nunca han usado la maquina, cual es el menor $p$ con el que pueden asegurarles a las personas que las pueden devolver los cerebros a sus cuerpos originales (incluyendo a las $p$ personas)

Problema del martes (Flavio)

Un número se llama amable si se puede escribir como $m + (m + 1) + ... + (n - 1) + n$ para enteros positivos con $m$ menor a $n$. Por ejemplo: 18 es amable, ya que 18 = 5 + 6 + 7. Un número se llama potencia de dos si se puede escribir como $2^l$ para algún entero $l\ge0$.
(a) Demostrar que ningún número es a la vez amable y una potencia de dos.
(b) Demostrar que todo entero positivo es amable o una potencia de dos.

Problema del Lunes 30 de Mayo (Georges)

Aqui esta un día atrasado.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que $x+y+1$ divide a $2xy$ y $x+y-1$ divide a $x^2+y^2-1$

lunes, 30 de mayo de 2011

Problema del dia Lunes 30 de Mayo (Centros)

Una representación chida de un entero positivo n, es una representación de n como suma de potencias de 2, con cada potencia apareciendo a lo mas 2 veces.
Por ejemplo,  5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1.
Cuales enteros positivos tienen un numero par de representaciones chidas? 

domingo, 29 de mayo de 2011

Lema para polinomios cuadráticos

Me di cuenta que el problema 1 que puse se puede generalizar en un lema que se ve muy fuerte.
Aquí lo pongo para quien quiera intentar demostrarlo.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros. Demuestra que existen una infinidad de primos $p$ tal que $P(n)$ es múltiplo de $p$ para algún entero $n$.

Problemas del día sábado 28 de mayo (Jorge)

Me quedé sin internet y por eso no subí ayer el problema del día.
En la semana me encontré con algunos problemas que están relacionados con la distribución de los primos y me parecieron interesantes. Aquí los pongo en orden de dificultad (según yo):

1.- Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen $n$ enteros $k_1, k_2\ldots k_n$ mayores que uno y primos relativos por parejas, tales que el número $k_1k_2\ldots k_n-1$ se puede expresar como producto de dos enteros consecutivos.

2.- Decimos que una pareja ordenada $(m,n)$ es una pareja chilanga si $n>m>1$ y cumple que $m$ tiene los mismos divisores primos que $n$ y $m+1$ tiene los mismos divisores primos que $n+1$. Demuestra que existen una infinidad de parejas chilangas.

3.-Sea $n$ un entero positivo, definimos $f(n)$ como el número de primos distintos que dividen a $n$. Demuestra que existen una infinidad de enteros positivos $m$ tal que $f(m+2)>f(m+1)>f(m)$.

4.- Para todo entero positivo $d$, demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$, tal que $d(n!)-1$ es un número compuesto.

jueves, 26 de mayo de 2011

OTRO PROBLEMA (MANUEL)

Sean x,y,z reales tales que x+y+z=0, muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.
¿Cuándo ocurre la igualdad?

Este es de la BMO 2011

Problema del día 26 de Mayo (Centros)

En cada vértice de un cuadrado se pone una piedra. Un movimiento consiste en elegir un vértice y quitar cualquier cantidad de piedras, luego, agregamos el doble de las que quitamos a un vértice adyacente al primero. ¿Es posible llegar a tener 2011, 2010, 2012, 2011 piedras en los vértices (en ese orden)?

Ah, también aprovecho para avisarles como va a estar lo de la ida. Adán y Juán se van en autobús a Colima el día 16, Enrique y yo llegaremos el 17 como a medio día más o menos. El vuelo sale de Toluca, a las 7:00AM, el 17.

PROBLEMA DEL DIA: 26 DE MAYO (MANUEL)

El primero es el 6 del TST de China 2011, no he podido hacerlo pero se ve muy interesante, el segundo, es lo que entendí primero que pedía el problema, y tiene una solución medio sencilla:

1) TST: Sea $n\geq 2$ un entero. Tomamos n+1 enteros tal que $0 = a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 2n-1$. Sea $X=\{ a_i+a_j | 0\leq i\leq j\leq n\}$. Determina la mínima cantidad de elementos distintos en X
MI VERSION: Lo mismo pero determina la máxima cantidad de elementos distintos en X.

miércoles, 25 de mayo de 2011

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema del 25 de Mayo (Diego)

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$, tal que $a+b+c=1$. Demuestren que:
$$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+b}}\leq\frac{3}{2}$$

Problema del 27 Mayo (Daniel)

Mañana salgo de viaje asi que de una vez pongo los problemas del viernes:

1) Sean, $a, b$ y $c$ las longitudes de un triangulo acutangulo. Demuestra que
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}\sqrt{a^2-b^2+c^2}+$
$\sqrt{b^2+c^2-a^2}\sqrt{b^2-c^2+a^2}+$
$\sqrt{c^2+a^2-b^2}\sqrt{c^2-a^2+b^2} \le ab+bc+ca$

2)Encuentra todas las parejas $(n,p)$ de enteros positivos con $p$ primo, $n \le 2p$ y tales que $n^{p-1}$ divide a $(p-1)^n + 1$

martes, 24 de mayo de 2011

Problema Martes 24 de Mayo

Encontrar todas las funciones $f:\mathds{N} \rightarrow \mathds{R}$ tales que:
(i) $f(n+1)\ge f(n)$ para toda $n\ge 1$
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los naturales $m$ y $n$ con $(m,n)=1$

lunes, 23 de mayo de 2011

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

domingo, 22 de mayo de 2011

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

sábado, 21 de mayo de 2011

Problema 2 del día sábado 21 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya hayan visto la solución del otro que puse hoy, que por lo que dice Flavio serán la mayoría. Éste me pareció bonito y un poco raro.
Sean $0\leq\alpha<\beta\leq1$ reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\alpha<\frac{\phi(n)}{n}<\beta$.
Donde $\phi(n)$ es la función de Euler.

Infinidad de números primos

El otro día me encontré este artículo y me pareció interesante:
"http://www.miscelaneamatematica.org/Misc44/marianito_r.pdf"
Espero que a ustedes les guste también. En general los artículos de esta página:
"http://www.miscelaneamatematica.org/" son interesantes, son de divulgación de las matemáticas pero a un nivel más avanzado, y abordan temas muy variados.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.
Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.
b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

viernes, 20 de mayo de 2011

APMO

NOOOOO... A UN PUNTO DE PLATA Y SI ME SALIA EL PROBLEMA DOS ORO Y MEXICO MEDALLERO COMPLETO!!!

AQUI ESTAN LOS RESULTADOS DE LA APMO, 3 PLATAS, 4 BRONCES, 3 MENCIONES HONORIFICAS MEXICO LUGAR 14

http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/

jueves, 19 de mayo de 2011

Problema del 20 Mayo (Daniel)

Sea I el incentro del triangulo ABC Y sean X,Y,Z los incentros de los triangulos BIC, CIA y AIB respectivamente. Demuestra quesi XYZ es equilatero ABC también es equilatero.

Sea ABCD un cuadrilatero circunscrito (creo asi se dice, con una cicunferencia tangente a los 4 lados) sea g una linea por A que intersecta a BC en M y CD en N. Sean I1,I2,I3 los incentros de los tiangulos ABM, MNC y NDA
respectivamente, demuestra que el ortocentro del I1I2I3 esta en G.

Los dos son short list del 2009, el primero no me ha salido.

IMO'S

¿Se sabe ya algo sobre nuestros entrenamientos? ¿Fecha o lugar?
Pura curiosidad, nada urgente.

Simposio de la Centro

¡Hola a todos!

No sé si estén enterados los que van a la Centro, pero habrá antes de la competencia un simposio los días 17 y 18 de Junio. La idea es que ustedes puedan aprovecharlo, entonces no llegaremos el 19, como habíamos dicho antes, sino el 16. Pero el plan sí sería el mismo, Enrique y yo volamos a Guadalajara y ahí encontramos a Juan y Adán para tomar un autobús a Colima. Cuando ya tenga los itinerarios de los vuelos nos ponemos de acuerdo a qué hora y dónde enontrarnos allá en Guadalajara.

¡Mientras tanto sigan entrenando! ¡Recuerden que la meta son tres oros, ánimo!

Problema del día: 19 de Mayo (Centros)

S es un subconjunto de {1,2,3,......,1000} tal que si m y n son elementos distintos de S, entonces m+n  no pertenece a S.
¿Cual el el numero mas grande de elementos que puede tener S?

PROBLEMA DEL DIA: 19 DE MAYO (Manuel)

Sea ABCD un cuadrilátero. Sea X un punto dentro de dicho cuadrilátero. $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}$ es el doble del área del cuadrilátero. Determina para que cuadriláteros y qué puntos dentro de ellos se cumple la condición.

miércoles, 18 de mayo de 2011

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

Demuestra que se cumple
\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.

Teorema de Waring

Sea $f:\mahtbb{N}_0\to\mahtbb{N}_0$ un polinomio y $d=\gcd_{k\in\mahtbb{N}_0} f(k)$. Entonces existen constantes $N$ y $k$ tal que, para todo $n\geq N$, $nd=\sum_{i=1}^k f(a_i)$, para algunas $a_i\in \mahtbb{N}_0 \forall i$.
En particular, si $0$ y $1$ estan en el dominio de $f$, se tiene que $N=0$.

martes, 17 de mayo de 2011

Problema de día 17 de Mayo (Centros)

Se tienen 2000 pelotas blancas en una caja. También se tiene un suministro inagotable de pelotas blancas, verdes y rojas. En cada turno podemos reemplazar dos pelotas de la caja con una o dos pelotas de acuerdo a las siguientes reglas: Dos blancas con una verde, dos rojas con una verde, dos verdes con una blanca y una roja, una blanca y una verde con una roja o una verde y una roja con una blanca.

$(i)$ Si después de hacer algunos cambios quedan tres pelotas en la caja, demuestra que al menos una de ellas es verde.

$(ii)$ ¿Es posible hacer algunos cambios de tal manera que quede sólo una pelota en la caja?

lunes, 16 de mayo de 2011

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día 16 de mayo (Georges)

Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que

$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $

Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $

domingo, 15 de mayo de 2011

Problema del día 15 de Mayo (Centros)

Sea $n\geq 5 $ un entero positivo. Demuestra que el conjunto $\{1,2,...,n\}$ puede partirse en dos conjuntos no vacíos $S_n$ y $P_n$ de tal manera que la suma de los elementos de $S_n$ sea igual al producto de los elementos de $P_n$.

sábado, 14 de mayo de 2011

Teorema de las isogonales de Jacobi

Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.

Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Problema 2 del día 14 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya habían visto el problema de combi que puse.
Este me pareció bonito:

Demuestra que, para toda función $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, existen al menos dos números reales positivos $x,y$ tal que
$f(x+y)$<$yf(f(x))$

Problema del día 14 de Mayo (Centros)

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que \[ \sum^{n}_{i = 1}a_{i}=\sum^{n}_{i = 1}\frac{1}{a_{i}^{2}}. \]

Demuestra que para cada $i=1,2,...,n$ podemos encontrar $i$ de los $n$ números cuya suma sea al menos $i$.

viernes, 13 de mayo de 2011

Problema del día sábado 14 de mayo (Jorge)

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=n^2+1$. Se tienen $N$ colores, cada cuadrito unitario de una cuadrícula de $N$x$N$ se colorea usando uno de los $N$ colores, de tal manera que cada color fue utilizado exactamente $N$ veces.

Demostrar que existe una columna o una fila en donde hay al menos $n+1$ colores distintos.

Problema del día (Centros)

Ayer no se podía postear por alguna razón, pero hoy si les dejo un problema:

A una fiesta asisten ocho personas. Se cuenta con cuatro mesas para acomodar a los invitados; en cada mesa debe haber exactamente dos personas. Se sabe que para cada persona $P$ en la fiesta hay a lo más tres invitados que son enemigos de $P$ (ser enemigo es mutuo). Demuestra que es posible acomodar a las personas en las cuatro mesas de tal forma que no haya enemigos en la misma mesa.

PROBLEMA DEL DIA: 12 DE MAYO (Manuel)

Pondré dos problemas que se me hicieron sencillos, pero que con una buena construcción salen en un instante:

1) Sean n y k enteros positivos. Están dadas n circunferencias, todas se intersectan dos a dos en un par distinto de puntos. Cada punto de intersección se pinta de uno de n colores distintos tal que cada color sea utilizado almenos una vez, y exactamente k colores distintos aparecen en cada circunferencia. Encuentra todos los valores de k para toda n$\geq$2 tal que haya una construcción posible.

2) Se tiene una gráfica completa de n vértices. Un paso es escoger un ciclo de longitud 4 (si existe alguno) y se le elimina una de las aristas que la conforma. Determina el menor número de aristas que se pueden dejar en la gráfica después de varios pasos.

Otro problema de números (Niño)

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.



(Publicado originalmente el Miércoles 11 de Mayo)

Problemas con blogger

Parece ser que blogger tuvo algunos problemas en estos días y algunos posts se borraron, pondré otra vez los que se quedaron grabados en mi cuenta de Google Reader.

Problema de T.Numeros

Se borro asi que lo pondre de nuevo, junto a la solucion en los comentarios. Sean $b,n,m\in\mathbb{N}$, tal que $n\neq m$, $b\geq 2$, y para todo primo $p$ se cumpla que $p|b^n-1\Leftrightarrow p|b^m-1$. Demostrar que $b-1$ es potencia de dos.

Solución al problema del lunes

No se que paso pero no sale el problema de Georges, asi que lo pondre otravez y pondre mi solucion en los comentarios.
Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$, de tal manera que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\geq 4$. Demostrar que
$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{ac+1}{(a+c)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}\geq 4$$

jueves, 12 de mayo de 2011

Otro problema de números

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.

miércoles, 11 de mayo de 2011

Problema del día Miércoles 12 de Mayo (Diego)

Sea $ABC$ un triangulo. Los triangulos $PAB$ y $QAC$ estan afuera de $ABC$, construidos de tal manera que $AP=AB$ y $AQ=AC$ y $\angle BAP=\angle CAQ$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersectan en $R$. Sea $O$ el circuncentro de $BCR$. Demuestra que $AO$ y $PQ$ son perpendiculares.

martes, 10 de mayo de 2011

En el interior de un triángulo $ABC$, con $AC\neq BC$, se toma un punto $X$. Sean $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle B$, $\phi=\angle ACX$, $\delta=\angle BCX$. Pruebe que $X$ está en la mediana del triángulo $ABC$ por el vértice $C$ si y sólo si
$$
\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\sin\phi\sin\delta}{\sin(\phi-\delta)}.
$$

Algo de teoria...

Pues pensando en el problema que puse, una de las primeras ideas que se me ocurrio, y que de hecho fue util pensar en eso, pero que no resolvia el problema fue lo siguiente:
Sea $p$ un primo (no recuerdo si impar necesariamente) y $P(x)=ax^2+bx+c$ un polinomio con coeficientes enteros $a,b,c$ ($a$ no es cero), entonces hay solucion a $P(x)\equiv 0 \pmod{p}$ si y solo si $b^2-4ac$ es residuo cuadratico modulo $p$ o $p|b^2-4ac$
Creo que de alguna manera puedes serles util, a lo mejor ya se lo sabian o tal vez no, pero a mi me ha servido en varios problemas.

Problema del dia Martes 10 de Mayo (Flavio)

Este problema no lo he hecho, pero alguna vez lo intente un poco. Es del selectivo 2 para la IMO de Holanda del 2010 (bueno segun lo que entendi de su pagina):
El polinomio $A(x) = x^2 + ax + b$ con coeficientes enteros tiene la siguiente propiedad: Para cada primo $p$ hay un entero $k$ tal que $A(k)$ y $A(k + 1)$ son ambos divisibles por $p$. Prueba que hay un entero $m$ tal que $A(m) = A(m + 1) = 0$.

Problemas del día por IMOs

Por favor confirmen si es correcta la asignación de días en el blog para los IMOs

Lunes ----- Georges
Martes ---- Flavio
Miercoles ---- Diego
Jueves ---- Manuel
Viernes --- Daniel
Sabado ---- Garza

Me fije que Georges ya empezó este lunes, así que los lunes son de Georges.

Recuerden que pueden poner un problema, o otras cosas como alguna técnica o teoría que consideren los demás deben saber, en fin, cualquier cosa que les ayude a sus compañeros y lo mas importante que los mantenga activos.

Que opinan de que publique en Facebook sobre la publicación de todos estos problemas de preparación para la IMO?, quizás a alguien de la comunidad le interesaría ver que tipo de problemas resuelven los IMOs, quizás solo estar al tanto de que quienes no sean miembros del blog no puedan comentar.

Panda

lunes, 9 de mayo de 2011

Problema del día Lunes 9 de mayo (Georges)

Uno facilin para empezar la semana.
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\leq4 $.
Demuestra que \[ \frac{ab+1}{(a+b)^{2}}+\frac{bc+1}{(b+c)^{2}}+\frac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3. \]

martes, 3 de mayo de 2011

Problema del día Martes 3 de mayo, 2011

Un problema fácil y no horrible (a diferencia de los de Hugo) para hoy.

Un pentágono convexo inscrito en un círculo de radio 1 tiene dos diagonales perpendiculares que se intersecan en el interior del pentágono. ¿Cuál es la máxima área que puede tener el pentágono?

No se supone que se ponen problemas de todas las áreas? Va casi un mes con pura geometría...