martes, 24 de mayo de 2011

Problema Martes 24 de Mayo

Encontrar todas las funciones $f:\mathds{N} \rightarrow \mathds{R}$ tales que:
(i) $f(n+1)\ge f(n)$ para toda $n\ge 1$
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los naturales $m$ y $n$ con $(m,n)=1$

1 comentario:

jorge garza vargas dijo...

Ya llevo intentándolo un buen rato pero no logro concluir. Ya demostré que si $f(a)=f(b)$ para $a$ distinto de $b$ entonces la función es constante, entonces $f(n)=1$ para toda $n$ o $f(n)=0$ para toda $n$, así que $f(x)$ es constante o estrictamente creciente. Ya demostré que si $f(a)f(b)=f(ab)$ para toda pareja $(a,b)$ entonces las únicas funciones que cumplen son de la forma $f(n)=n^x$ para toda $n$ con $x$ un real fijo no negativo.
¿Alguien puede ya concluir con eso?¿algún hint?

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