jueves, 23 de agosto de 2012
G3
Un triángulo y un cuadrado están circunscritos a la misma circunferencia. Demuestra que al menos la mitad del perímetro del cuadrado está dentro del triángulo.
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
2 comentarios:
Sea $C$ el cuadrado, $T$ el triángulo y $\omega$ la circunferencia inscrita a $C$ y $T$. Sea $r$ el radio de $\omega$, y por lo tanto el perímetro de $C$ es $8r$.
Los puntos de tangencia de $T$ con $\omega$ son de color $t$ y los puntos de tangencia de $C$ con $\omega$ son de color $c$.
Ahora, por casillas, entre $2$ de los puntos de color $t$ hay $2$ puntos de color $c$. Con esto vemos que la parte del perímetro de $C$ que queda dentro de $T$ es al menos $2r$ dentro del área que determinan las tangentes a $\omega$ por los dos puntos de color $t$ mencionados previamente.
Ahora, si esto sucede otra vez, es decir, que los otros $2$ puntos de color $c$ están contenidos dentro del arco determinado por $2$ puntos de color $t$, entonces, aseguramos $2\cdot 2r=4r$ deperimetro de $C$ dentro de $T$, y acabamos.
Ahora, supongamos que esto no pasa. Entonces, en orden en la circunferencia, tenemos los puntos de este color
$t, c, c, t, c, t, c$
y básicamente, lo que queda dentro de $T$ de perímetro de $C$, si los ángulos partidos generados son
$90, a, 90-a, b, 90-b, c, 90-c$
entonces el perímetro de $C$ dentro de $T$ será
$2r+r\left(\sum_{cyc}{\tan{\frac{a}{2}}+tan{\frac{90-a}{2}}}\right)$
$\geq 2r+6r\tan{\frac{45}{2}}$
$=r\left(2+6\sqrt{2}-6\right)=r\left(6\sqrt{2}-4\right)>4r$
y acabamos.
Casitos (las posición del triángulo respectiva a la del cuadrado) y talacha
Publicar un comentario