jueves, 30 de agosto de 2012
N-4
Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $P(0)=P(1)=1$. Para un entero dado $a$ definimos la sucesión $(x_n)$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=P(x_n)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$ se cumple que $(x_n,n!)=1$.
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3 comentarios:
Solución: El problema es equivalente a probar que todo primo menor que n no divide a $a_n$. Para ello reduzcamos las $a_i$ módulo $p$, que si alguno de los $a_i$ es $0$ para $1 \le i \le n-1$ acabamos (todos serán 1) y por último ver que si dos de los elementos antes de $a_n$ son iguales y ninguno $0$ entonces se formarán se repetirá la secuencia, es decir, es periódica de periodo la diferencia de los índices de los elementos iguales. En particular $a_n$ no será $0$.
Nota: creo que lo más importante en este problema es no enfrascarse en una idea, yo quería forzar a que todos los primos menores que $n$ dividen a $a_n-1$.
Lo siento mantuve la notación de mi solución: $a_n=x_n$
Ya que dejas de intentar demostrar que p divide a a_n-1 con p menor a n un primo, sale facil usando modulo p y cosas de secuencias
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