10 de Junio

1. Un triángulo equilátero de lado $2016$ se divide en $2016^2$ triángulitos equiláteros de lado $1$ con lineas paralelas a los lados del triángulo. En algunos de los vértices de estos triangulitos se colocan fichas, de manera que no haya dos fichas sobre una linea paralela a algún lado del triángulo. Determina la máxima cantidad de fichas que se pueden colocar.

2. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un único entero $a$ con $0 \leq a \: \textless \: n!$ que satisface

$$n! \mid a^n + 1$$

3. Sean $a, b, c$ lados de un triángulo. Demuestra que

$$\frac{\sqrt{b + c - a}}{\sqrt{b} + \sqrt{c} - \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{c + a - b}}{\sqrt{c} + \sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a + b - c}}{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}} \leq 3$$