1. Encuentra tods las funciones $f:
\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que cumplen que
$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$$
Para todos $x, y$.
2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y $\Omega$ su circuncírculo. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B$ y $C$ y que intersecta a $AB$ y $AC$ en $E$ y $D$ respectivamente, sea $O$ el centro de $\omega$. Sea $P$ un punto en el arco mayor $BAC$ de $\Omega$. Prueba que $BD$, $CE$ y $OP$ concurren si y sólo si los triángulos $PBD$ y $PCE$ tienen el mismo incentro.
martes, 21 de junio de 2016
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
1 comentario:
Veamos que $OP$, $BD$ y $CE$ concurren si y solo si $P$ es el punto de Miquel de $BCDE$, puesto que este cuadrilátero es cíclico.
Si $PBD$ y $PCE$ tienen el mismo incentro, este debe estar en las bisectrices de $\angle PBD$ y $\angle PCE$, y por lo tanto estas rectas deben coincidir. Esto implica que
$\measuredangle BPE = \measuredangle CPD$
Además, $APBC$ es cíclico y por lo tanto $\measuredangle PBE = \measuredangle PCD$, y entonces $\triangle PBE$ y $\triangle PCD$ son semejantes, y $P$ es el punto de Miquel de $BCDE$.
Ahora, si $P$ es el punto de Miquel de $BCDE$, sea $Q$ la intersección de $BC$ y $DE$, entonces $OP \perp AQ$ por Brocard. Además, $QBEP$ y $QCDP$ son cíclicos por ser $P$ punto de Miquel de $BCDE$, y por lo tanto
$$\angle QPB = \angle QEB = \angle QCD = \angle DPA$$
Y por lo tanto $AQ$ es bisectriz externa de $\angle BPD$, luego $PO$ es bisectriz interna de $\angle BPD$, y ya que $OB = OD$, $BPDO$ es cíclico, y análogamente $CPEO$ es cíclico.
Sea $I$ la intersección del rayo $OP$ con $\omega$. Entonces $I$ es el incentro común de $PBD$ y $PCE$ por las propiedades de $O$ vistas en el párrafo anterior.
Publicar un comentario